Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

• 1.

  • a) Indiquer la valeur de $p_2$.

  • b) Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

  • c) Sachant que le $3^{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?

    On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

• 2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 3. Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$.

• 4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$.

  Pour cela, on utilise une fonction appelée repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

\multicolumn{1}{c}{Programme 1}&\multicolumn{1}{c}{Programme 2}&\multicolumn{1}{c}{Programme 3}

1&def repas(n):

2&  p=1

3&  L=[p]

4&  for k in range(1,n):

5&    p = 0.2*p+0.7

6&    L. append(p)

7&   return(L)

&

1&def repas(n):

2&  p=1

3&  L=[p]

4&  for k in range(1,n+1):

5&    p = 0.2*p+0.7

6&    L. append(p)

7&  return(L)

&

1&def repas(n):

2&  p=1

3&  L=[p]

4&  for k in range(1,n):

5&    p = 0.2*p+0.7

6&    L.append(p+1)

7&  return(L)

• a) Lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.

• b) Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour $n = 5$.

• 1. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1,\:\: p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$.

• 2. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.