Exercice 2 — Combinatoire et dénombrement, Variables aléatoires et sommes

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

• 1. Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.

  Affirmation 1

  47 poignées de mains ont été échangées.

• 2. Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

  Affirmation 2

  Il y a 4896 possibilités de distribuer ces prix.

• 3. Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux.

  Affirmation 3

  Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.

• 4. Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et on considère $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

  Affirmation 4

  $P(Y=4) = 0,25$.

• 5. Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0,85$.

  Il effectue, sur une journée, $20$ parcours chronométrés sur $50$ mètres. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes lors de cette journée.

  On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,85$.

  Affirmation 5

  Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est $0,434$.