Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

• si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90$ des cas le jour suivant ;
• si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $R_n$ l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,

• $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0,6$.

• 1. Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :

  $p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3.$

• 3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.

  • a) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

  • b) Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ :

    $p_n = 0,75 - 0,15 \times 0,6^n.$

  • c) En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.

  • d) Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.

Partie B

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies,

• 1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
• 2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$ haies.
• 3. Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près,