Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Distances, projetés, aires et volumes

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points

A$\left(2\sqrt 3 ; 0 ; 0\right)$, B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) et K$\left(\dfrac{\sqrt 3}{2} ; \dfrac32 ; 0\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (CK) est :

  x&=&\phantom{1-}\dfrac{\sqrt 3}{2}t \\

y&=&\phantom{1-}\dfrac32 t \ z&=&1 - t \end{array}\right. : (t \in \mathbb{R})$$

• 2. Soit M$(t)$ un point de la droite (CK) paramétrée par un réel $t$.

  Établir que OM$(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$.

• 3. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \text{OM}(t)$.

  • a) Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.

• 4. En déduire que le point H$\left(\dfrac{\sqrt3}{8} ; \dfrac38 ; \dfrac34\right)$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (CK).

• 5. Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point H est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle ABC.

• 6.

  • a) Démontrer que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).

  • b) En déduire une équation du plan (ABC).

• 7. Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle ABC.