Exercice 4 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_{n}$ et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$.

Pour les parties A et B de l'exercice, on considère que :

• Si l'évènement $A_{n}$ est réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,3.
• Si l'évènement $A_{n}$ n'est pas réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,7.

On suppose que $p_{1}=1$.

Partie A :

• 1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous:

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Montrer que $p_{3}=0,58$.

• 3. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_{3}}\left(A_{2}\right)$, arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.

Partie B :

Dans cette partie, on étudie la suite $\big(p_{n}\big)$ avec $n \geqslant 1$.

• 1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2.

  • a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=-0,4 p_{n}+0,7$.

  On considère la suite $\big(u_{n}\big)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

  $u_{n}=p_{n}-0,5$.

  • a) Montrer que $\big(u_{n}\big)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

  • b) En déduire l'expression de $u_{n}$, puis de $p_{n}$ en fonction de $n$.

  • c) Déterminer la limite de la suite $\big(p_{n}\big)$.

Partie C :

Soit $x \in ]0  ;  1[$, on suppose que $P_{\overline{A_{n}}}\left(A_{n+1}\right)=P_{A_{n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=x$. On rappelle que $p_{1}=1$.

• 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=(1 - 2x) p_{n}+x$.

• 2. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul :

  $p_{n}=\dfrac{1}{2}(1-2 x)^{n-1}+\dfrac{1}{2}$

• 3. Montrer que la suite $\big(p_{n}\big)$ est convergente et donner sa limite.