LIMITES DE SUITES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Suites)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le prolongement direct du chapitre Suites et récurrence. Il introduit la notion de limite pour les suites et fournit les outils permettant d'étudier le comportement de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. C'est la question finale de la quasi-totalité des exercices sur les suites au bac.

Prérequis indispensables :

• Démonstration par récurrence (chapitre Suites et récurrence)
• Sens de variation, majoration, minoration
• Manipulation des expressions algébriques (factorisation, quantité conjuguée)
• Suites arithmétiques et géométriques

Chapitre débouchant sur : Limites de fonctions (mêmes techniques transposées), Suites définies par une fonction (méthode du point fixe).

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1. Notions clés

1.1 Limite finie — convergence

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si $u_n$ se rapproche « aussi près qu'on veut » de $\ell$ quand $n$ devient grand. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Une suite qui a une limite finie est dite convergente.

1.2 Limite infinie — divergence vers $+\infty$ ou $-\infty$

• $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ : $u_n$ devient « aussi grand qu'on veut ».
• $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ : $u_n$ devient « aussi petit qu'on veut ».

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente — soit elle a une limite infinie, soit elle n'a pas de limite du tout (ex : $(-1)^n$).

1.3 Unicité de la limite

Si une suite admet une limite, cette limite est unique.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Limites de référence

$\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \qquad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \qquad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$

T2 — Opérations sur les limites

Les limites se comportent bien par somme, produit, quotient — sauf pour quatre formes indéterminées (F.I.) :

$\text{« } +\infty - \infty \text{ »} \qquad \text{« } 0 \times \infty \text{ »} \qquad \text{« } \dfrac{\infty}{\infty} \text{ »} \qquad \text{« } \dfrac{0}{0} \text{ »}$

Devant une F.I., il faut transformer l'expression (factorisation, quantité conjuguée, simplification).

T3 — Limite d'une suite géométrique

Soit $(q^n)$ une suite géométrique de raison ${\color{#0070C0}{q}}$. Alors :

• Si ${\color{#0070C0}{q}} > 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} {\color{#0070C0}{q}}^{\,n} = +\infty$
• Si ${\color{#0070C0}{q}} = 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} {\color{#0070C0}{q}}^{\,n} = 1$
• Si $-1 < {\color{#0070C0}{q}} < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} {\color{#0070C0}{q}}^{\,n} = 0$
• Si ${\color{#0070C0}{q}} \leqslant -1$ : la suite n'a pas de limite

📌 Retenir : pour une suite géométrique, seul le cas $|{\color{#0070C0}{q}}| < 1$ donne une convergence (vers $0$).

T4 — Théorème de comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang.

• Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
• Si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

📌 Image : « je pousse par en-dessous vers $+\infty$ » ou « je tire par au-dessus vers $-\infty$ ».

T5 — Théorème des gendarmes (encadrement)

Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites telles que $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang.

Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell$ (même limite finie), alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \ell$.

T6 — Théorème de convergence monotone (TCM)

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

⚠ Ce théorème dit que la limite existe, mais ne donne pas sa valeur. La valeur doit être trouvée par un autre moyen (calcul, point fixe).

T7 — Limite et point fixe (suite $u_{n+1} = f(u_n)$)

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.

$\ell$ est appelé point fixe de $f$. On trouve $\ell$ en résolvant l'équation $f(x) = x$.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calcul direct par opérations sur les limites

Exemple. $u_n = 3n^2 - 5n + 7$.

$\lim n^2 = +\infty$ et $\lim (-5n + 7) = -\infty$ : forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ».

On factorise par le terme dominant : $u_n = n^2 \left( 3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{7}{n^2} \right)$

Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{7}{n^2} \right) = 3$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$.

Par produit : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Où c'est tombé : systématique en QCM, Métropole 2021, 2022, 2023, Polynésie 2023.

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M2 — Lever une forme indéterminée

Trois techniques principales :

• Factorisation par le terme dominant (F.I. « $\infty - \infty$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty}$ »)
• Simplification d'une fraction (F.I. « $\dfrac{0}{0}$ »)
• Quantité conjuguée pour les racines carrées (F.I. « $\infty - \infty$ »)

Exemple — quantité conjuguée. $u_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$ : F.I. « $\infty - \infty$ ».

On multiplie et divise par le conjugué $\sqrt{n^2 + 1} + n$ : $u_n = \dfrac{(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n)}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{n^2 + 1 - n^2}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1} + n}$

$\lim\limits_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+1} + n) = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Où c'est tombé : Amérique du Nord 2022 (quantité conjuguée), Métropole sept. 2023, Antilles 2024.

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M3 — Théorème des gendarmes

Type d'énoncé : « Démontrer que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ » avec un encadrement donné ou à trouver.

Rédaction canonique.

On a ${\color{#EE0000}{g_n}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{h_n}}$ pour tout $n$.

On calcule $\lim\limits_{n \to +\infty} {\color{#EE0000}{g_n}} = \ell$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} {\color{#0070C0}{h_n}} = \ell$.

D'après le théorème des gendarmes : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Exemple typique. $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$. On a $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$, donc $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$.

Les deux « gendarmes » tendent vers $0$, donc $\lim u_n = 0$.

Où c'est tombé : Métropole 2021, Asie 2022, Polynésie sept. 2023.

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M4 — Théorème de comparaison

Type d'énoncé : « Démontrer que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ » avec une minoration.

Exemple. On sait que $u_n \geqslant n^2 - 5$. Comme $\lim (n^2 - 5) = +\infty$, par comparaison $\lim u_n = +\infty$.

⚠ Ne pas confondre avec gendarmes : ici une seule inégalité suffit, mais on peut seulement conclure à une limite infinie.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Amérique du Sud 2023, Centres Étrangers 2024.

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M5 — Théorème de convergence monotone (méthode reine des exercices en 4 questions)

Structure canonique d'un exercice bac en fin de sujet sur les suites :

1. Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est bornée (ex : $0 \leqslant u_n \leqslant 3$).
2. Démontrer que $(u_n)$ est monotone (souvent croissante).
3. Conclure par TCM : $(u_n)$ est croissante et majorée, donc converge vers une limite $\ell$.
4. Déterminer $\ell$ par la méthode du point fixe (M7).

Rédaction de l'étape 3 :

La suite $(u_n)$ est croissante (question 2) et majorée par $3$ (question 1). D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite finie $\ell \leqslant 3$.

Où c'est tombé : structure présente dans presque tous les sujets avec un exo suite. Métropole juin 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024, Asie 2024.

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M6 — Limite d'une suite géométrique ou d'une combinaison

Exemple. $u_n = 2 + 3 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$.

$\left| {\color{#0070C0}{q}} \right| = \dfrac{1}{2} < 1$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = 0$.

Par somme : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 + 0 = 2$.

Cas d'une somme géométrique. $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - {\color{#0070C0}{q}}^{\,n+1}}{1 - {\color{#0070C0}{q}}}$ (si ${\color{#0070C0}{q}} \ne 1$).

Si $|{\color{#0070C0}{q}}| < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - {\color{#0070C0}{q}}}$.

Où c'est tombé : Métropole 2021, Polynésie 2022, Antilles-Guyane 2024.

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M7 — Limite d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : méthode du point fixe

Contexte : on a démontré (souvent par TCM) que $(u_n)$ converge vers $\ell$. On cherche $\ell$.

Rédaction canonique.

Justification de la continuité : la fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition (à préciser).

Passage à la limite : en passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $\ell = f(\ell)$ (car $\lim u_{n+1} = \lim u_n = \ell$ et par continuité de $f$).

Résolution : on résout $f(x) = x$.

Sélection de la bonne solution : parmi les solutions, on choisit celle qui vérifie les contraintes trouvées précédemment (encadrement, signe...).

Exemple. $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ avec $u_0 = 1$. On a montré $0 \leqslant u_n \leqslant 3$ et $(u_n)$ croissante, donc converge vers $\ell \in [0\,;3]$.

$f(x) = \sqrt{x+6}$ est continue sur $[-6\,;+\infty[$, donc en $\ell$. On a $\ell = \sqrt{\ell + 6}$ soit $\ell^2 = \ell + 6$ (avec $\ell \geqslant 0$), donc $\ell^2 - \ell - 6 = 0$. Discriminant $\Delta = 1 + 24 = 25$. Solutions $\ell_1 = 3$ et $\ell_2 = -2$. Comme $\ell \in [0\,;3]$, on retient $\ell = 3$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Métropole juin 2024, Asie 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• La limite d'une suite est demandée dans plus de 95 % des exercices sur les suites au bac.
• Format canonique fréquent (structure « TCM + point fixe » en 4 questions) : bornage par récurrence → monotonie → conclusion TCM → point fixe. Présent dans quasiment toutes les sessions.
• Question de QCM récurrente : limite d'une expression $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ avec $P, Q$ polynomiaux — application directe de la factorisation par le terme dominant.
• Question de QCM récurrente : limite d'une somme faisant intervenir $q^n$ — application de la limite géométrique.
• Question piège fréquente : demande de justifier une F.I. avant de la lever (perte de point si l'élève « saute » directement au calcul).
• Théorème des gendarmes : moins fréquent que le TCM, mais quasi systématique dans les exos faisant intervenir $\sin$, $\cos$ ou $(-1)^n$.
• Combinaison classique : avant d'appliquer M7 (point fixe), l'énoncé demande d'étudier une fonction associée $f$ (variations, continuité) — croisement avec le chapitre Étude complète de fonction.

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5. Erreurs fréquentes

1. Écrire directement le résultat d'une F.I. sans annoncer qu'il y a indétermination et sans transformation — perte de point automatique.
2. Confondre « pas de limite » et « limite $= +\infty$ » : $((-1)^n)$ n'a pas de limite, mais $(2n)$ a pour limite $+\infty$.
3. Utiliser le TCM sans avoir démontré les deux hypothèses (monotonie ET bornage) : la conclusion tombe.
4. Donner la valeur de la limite en concluant TCM : le TCM affirme l'existence de $\ell$, il ne la calcule pas. Il faut la méthode du point fixe.
5. Confondre gendarmes et comparaison : gendarmes = trois suites et même limite finie ; comparaison = deux suites et limite infinie.
6. Oublier la continuité de $f$ dans l'argument du point fixe : sans continuité, on ne peut pas écrire $\lim f(u_n) = f(\ell)$.
7. Résoudre $f(x) = x$ et prendre toutes les solutions sans utiliser les contraintes déjà démontrées pour éliminer les solutions parasites.
8. Confondre la raison $q$ d'une suite géométrique et son terme initial dans la formule de limite.
9. Erreur de sens sur les inégalités dans un encadrement quand on multiplie par un négatif.
10. Écrire $\lim u_n = 0^+$ ou $0^-$ pour une suite : ces notations sont réservées aux limites de fonctions.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule / règle
Limites de référence	$\lim n = +\infty$, $\lim \frac{1}{n} = 0$, $\lim \sqrt{n} = +\infty$
Formes indéterminées	$\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$
Suite géométrique	$
Gendarmes	$u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = \ell \Rightarrow \lim v_n = \ell$
Comparaison	$u_n \leqslant v_n$ et $\lim u_n = +\infty \Rightarrow \lim v_n = +\infty$
Convergence monotone	Croissante + majorée ⇒ convergente (mais valeur non donnée)
Point fixe	$u_{n+1} = f(u_n)$, $f$ continue en $\ell$, $\lim u_n = \ell$ ⇒ $\ell = f(\ell)$
Somme géométrique infinie	$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Structure TCM + point fixe (méthodes M5 + M7) — la plus fréquente :

• Métropole — 2021 J1 ex. 2 · 2021 J1 ex. 3 · 2021 J2 ex. 3 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 2 · 2024 J2 ex. 3 · 2024 J2 ex. 4
• Polynésie — 2022 J1 ex. 1 · 2023 J1 ex. 3
• Amérique du Nord — 2023 J2 ex. 4
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 3
• Asie — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 2 · 2024 J2 ex. 3
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 3

Théorème des gendarmes (M3) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 2 · 2021 J1 ex. 3 · 2021 J2 ex. 3 · 2021 J2 ex. 4
• Asie — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J1 ex. 3

Théorème de comparaison (M4) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 3