Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: 0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :

• $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 »;

• $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».

• 1.

  • a) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

    (Figure : voir le sujet PDF.)

  • b) Démontrer que $P(V_3) = 0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  • c) Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.

• 2. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_n = P(V_n)$.

  La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$.

  • a) Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

    $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.$

  • b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

    $p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5.$

  • c) Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0 ; 1[.

1   def simulation(n): 
2      donnee = 1
3      liste = [donnee] 
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee) 
9      return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1,: 0,: 0,: 1].Cette liste traduit :

• qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;

• la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;

• la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;

• la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

• 1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.

• 2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1,:1,:1,:1,:1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1,: 0,:1,:0,:0,:1,:1].