FONCTION EXPONENTIELLE

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre introduit la première fonction transcendante du programme. La fonction exponentielle est l'une des plus riches du bac : elle apparaît dans presque tous les sujets, sous forme d'étude complète, de calcul de limite, de résolution d'équation, ou de composée dans un exercice de probabilités continues (loi exponentielle en spécialité maths hors programme, mais loi discrète associée dans certains cas).

Prérequis indispensables :

• Dérivation et convexité (surtout formule $(e^u)' = u'\,e^u$)
• Continuité et TVI (pour résoudre les équations $e^x = k$)
• Limites de fonctions
• Manipulation des puissances

Chapitre débouchant sur : Logarithme népérien (fonction réciproque), Équations différentielles (les solutions font intervenir $e^{at}$), Primitives et Calcul intégral (l'exponentielle est sa propre primitive).

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1. Notions clés

1.1 Définition

Il existe une unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $f'(x) = f(x) \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1$

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$.

Le nombre $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ est appelé constante d'Euler.

1.2 Signe

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $e^x > 0$.

⚠ À retenir absolument : l'exponentielle est strictement positive partout. C'est un fait qu'on utilise dans presque toutes les études de signe de dérivées.

1.3 Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (car $(e^x)' = e^x > 0$).

1.4 Limites aux bornes

$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{\exp}$ en $-\infty$.

1.5 Convexité

La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ (car $(e^x)'' = e^x > 0$).

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2. Formulaire — propriétés et théorèmes

T1 — Propriétés algébriques (les 5 fondamentales)

Pour tous réels ${\color{#EE0000}{a}}$ et ${\color{#0070C0}{b}}$, et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

$e^{{\color{#EE0000}{a}} + {\color{#0070C0}{b}}} = e^{{\color{#EE0000}{a}}} \times e^{{\color{#0070C0}{b}}}$

$e^{-{\color{#EE0000}{a}}} = \dfrac{1}{e^{{\color{#EE0000}{a}}}}$

$e^{{\color{#EE0000}{a}} - {\color{#0070C0}{b}}} = \dfrac{e^{{\color{#EE0000}{a}}}}{e^{{\color{#0070C0}{b}}}}$

$\left(e^{{\color{#EE0000}{a}}}\right)^n = e^{n\,{\color{#EE0000}{a}}}$

$e^0 = 1$

T2 — Dérivées

$\big(e^x\big)' = e^x$

$\big(e^{{\color{#0070C0}{u}}(x)}\big)' = {\color{#0070C0}{u}}'(x) \times e^{{\color{#0070C0}{u}}(x)}$

Cas particulier fréquent : $\big(e^{ax + b}\big)' = a\,e^{ax + b}$

T3 — Équations et inéquations

Équations : pour tous réels $A, B$ : $e^A = e^B \; \Leftrightarrow \; A = B$

Inéquations (car $\exp$ est strictement croissante) : $e^A < e^B \; \Leftrightarrow \; A < B$

$e^A > 0 \text{ toujours} \; \Rightarrow \; e^A \geqslant k \text{ n'a pas de solution si } k \leqslant 0$

T4 — Croissances comparées (à l'infini)

Ces limites disent : « en $+\infty$, l'exponentielle « écrase » les polynômes ».

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \; (n \in \mathbb{N})$

Par produit / passage au symétrique en $-\infty$ :

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0 \; (n \in \mathbb{N})$

Limite en $0$ (moins fréquente mais à connaître) :

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$

(nombre dérivé de $\exp$ en $0$).

T5 — Convexité

$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$, sa courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier, au-dessus de la tangente en $0$ (qui est $y = x + 1$) : $\text{pour tout } x \in \mathbb{R}, \quad e^x \geqslant x + 1$

Inégalité classique utilisée dans plusieurs démonstrations au bac.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Résoudre une équation $e^{f(x)} = k$

Démarche systématique.

1. Vérifier que $k > 0$ (sinon, aucune solution).
2. Écrire $e^{f(x)} = e^{\ln k}$ (ou plus directement : $f(x) = \ln k$).
3. Résoudre l'équation en $x$.

Exemple. Résoudre $e^{2x - 1} = 5$.

$2x - 1 = \ln 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{1 + \ln 5}{2}$.

Cas particulier : $e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ (on égalise les exposants).

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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M2 — Résoudre une inéquation avec exponentielle

Principe : $\exp$ est strictement croissante, donc on garde le sens des inégalités quand on « enlève » les exponentielles.

Exemple. $e^{x^2} < e^{3x}$ ⇔ $x^2 < 3x$ ⇔ $x^2 - 3x < 0$ ⇔ $x(x-3) < 0$ ⇔ $x \in ]0\,;3[$.

Où c'est tombé : en QCM régulièrement.

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M3 — Étudier une fonction du type $f(x) = P(x)\,e^{g(x)}$

Structure canonique — c'est LE type d'exercice bac.

Démarche.

1. Ensemble de définition : $\mathbb{R}$ en général (l'exponentielle est définie partout).
2. Dérivée : $f'(x) = P'(x)\,e^{g(x)} + P(x)\,g'(x)\,e^{g(x)} = e^{g(x)}\left[P'(x) + P(x)\,g'(x)\right]$.
3. Signe de $f'$ : factoriser par $e^{g(x)} > 0$ ; le signe de $f'$ est celui du crochet.
4. Tableau de variations.
5. Limites aux bornes (souvent avec croissance comparée).

Exemple. $f(x) = (x + 2)\,e^{-x}$.

$f'(x) = 1 \times e^{-x} + (x + 2) \times (-e^{-x}) = e^{-x}\,[1 - (x+2)] = e^{-x}\,(-x - 1) = -(x+1)\,e^{-x}$.

Comme $e^{-x} > 0$, $f'(x)$ est du signe opposé de $x + 1$ : positif pour $x < -1$, négatif pour $x > -1$.

Donc $f$ croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;+\infty[$, maximum en $-1$ : $f(-1) = 1 \times e^1 = e$.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021 à 2024, Polynésie, Amérique du Nord, Asie.

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M4 — Calculer une limite avec croissance comparée

Reconnaître une forme indéterminée du type $\dfrac{e^x}{x^n}$ ou $x^n\,e^{-x}$ ou $x\,e^x$ en $-\infty$.

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^2}{x}$.

F.I. « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On sépare : $\dfrac{e^x}{x} - x$. Or $\lim \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim x = +\infty$, F.I. « $\infty - \infty$ ». On factorise :

$\dfrac{e^x - x^2}{x} = \dfrac{e^x}{x}\left(1 - \dfrac{x^3}{e^x}\right)$

Par croissance comparée, $\dfrac{x^3}{e^x} \to 0$, donc le facteur $\to 1$, et $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$. Donc $\lim = +\infty$.

Où c'est tombé : QCM très fréquent — Métropole 2021, 2023, Polynésie 2022, Amérique du Nord 2024.

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M5 — Calculer une dérivée d'expression contenant $e^u$

Rappel formule (fiche Dérivation et convexité, T3) : $\big(e^{{\color{#0070C0}{u}}}\big)' = {\color{#0070C0}{u}}' \times e^{{\color{#0070C0}{u}}}$

Erreur numéro un : oublier le facteur ${\color{#0070C0}{u}}'$. Toujours écrire la formule littérale avant de substituer.

Exemple. $f(x) = e^{\sqrt{x}}$. Alors ${\color{#0070C0}{u}}(x) = \sqrt{x}$ et ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times e^{\sqrt{x}}$.

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M6 — Démontrer une inégalité impliquant l'exponentielle (étude de fonction)

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$, $e^x \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$. »

Démarche.

1. On étudie la fonction $g(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. On calcule $g'(x) = e^x - 1 - x$.
3. On étudie le signe de $g'$ (en dérivant à nouveau, ou par convexité).
4. On dresse le tableau de variations de $g$, on conclut $g(x) \geqslant g(0) = 0$.

Alternative rapide par convexité (M8 de la fiche Dérivation) : utiliser $e^x \geqslant x + 1$ (position par rapport à la tangente en 0).

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, Amérique du Nord 2024, Centres Étrangers 2024.

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M7 — Convexité et point d'inflexion pour une fonction avec exponentielle

Démarche. Calculer $f'$, puis $f''$, factoriser $e^{u(x)} > 0$ et étudier le signe du reste. Les points d'inflexion sont les $x_0$ où $f''$ change de signe.

Exemple. $f(x) = (x^2 - 2x)\,e^x$. Alors $f'(x) = (x^2 - 2)\,e^x$ et $f''(x) = (x^2 + 2x - 2)\,e^x$.

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 2 = 0$ (discriminant $\Delta = 4 + 8 = 12$, $x = -1 \pm \sqrt{3}$).

Ce sont les abscisses des deux points d'inflexion.

Où c'est tombé : Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024, en QCM.

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4. Analyse fréquentielle

• La fonction exponentielle apparaît dans plus de 90 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent : exercice complet d'étude d'une fonction $f(x) = P(x)\,e^{g(x)}$ en 5 à 6 questions (méthode M3), noté souvent 6 à 8 points.
• Structure canonique de cet exercice :
  1. Ensemble de définition, limites aux bornes (avec croissance comparée)
  2. Calcul de $f'$, factorisation
  3. Signe de $f'$ (en utilisant $e^{u} > 0$)
  4. Tableau de variations
  5. Éventuellement : convexité, tangente, résolution de $f(x) = 0$
• Croissance comparée (M4) en QCM : ultra-fréquent, quasi une question par session.
• Résolution d'équation $e^A = e^B$ ou $e^A = k$ (M1) : régulière en QCM ou en question intermédiaire.
• Inégalité $e^x \geqslant x + 1$ : utilisée dans plusieurs sujets pour démontrer d'autres inégalités.
• Convexité de l'exponentielle : exploitée directement (M6, M7), et implicitement (l'exponentielle est un exemple canonique de fonction convexe).

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5. Erreurs fréquentes

1. Écrire $e^{a+b} = e^a + e^b$ : erreur algébrique majeure. La bonne formule est $e^a \times e^b$.
2. Oublier le facteur $u'$ dans la dérivée $(e^u)'$ : erreur numéro un dans les calculs de dérivée.
3. Oublier que $e^x > 0$ dans l'étude du signe de $f'$ : ce fait doit être écrit pour justifier la factorisation.
4. Résoudre $e^x = -3$ en écrivant « $x = \ln(-3)$ » : l'équation n'a pas de solution car $e^x > 0$.
5. Confondre $e^{-x}$ et $-e^x$ : ce sont deux choses différentes. $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} > 0$ ; $-e^x < 0$.
6. Utiliser la croissance comparée à mauvais escient : vérifier qu'on est bien en $+\infty$ (ou $-\infty$ avec les bonnes règles) et non en un point fini.
7. Erreur de signe dans $(e^{-x})' = -e^{-x}$ : oubli du facteur $(-1) = u'$.
8. Confondre $(e^x)^n$ et $e^{x^n}$ : $(e^x)^n = e^{nx}$, ce qui est très différent de $e^{x^n}$.
9. Passer au log dans une inéquation sans vérifier la positivité : ne pas écrire $x < \ln k$ sans avoir vérifié $k > 0$.
10. Oublier de factoriser par $e^{u}$ dans $f'(x)$ : rend l'étude du signe beaucoup plus difficile.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Définition	Unique $f$ dérivable avec $f' = f$ et $f(0) = 1$
Signe	$e^x > 0$ pour tout $x$
Variations	Strictement croissante sur $\mathbb{R}$
Limites	$\lim_{-\infty} e^x = 0$, $\lim_{+\infty} e^x = +\infty$
Somme	$e^{a+b} = e^a \times e^b$
Opposé	$e^{-a} = 1/e^a$
Puissance	$(e^a)^n = e^{na}$
Dérivée simple	$(e^x)' = e^x$
Dérivée composée	$(e^u)' = u'\,e^u$
Croissance comparée	$\lim_{+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$, $\lim_{-\infty} x^n\,e^x = 0$
Nombre dérivé en $0$	$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
Inégalité clef	$e^x \geqslant x + 1$ (partout)
Équation	$e^A = e^B \Leftrightarrow A = B$
Convexité	$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Étude complète d'une fonction $f(x) = P(x)\,e^{g(x)}$ (méthode M3) — exercice-type :

• Métropole — 2021 J1 ex. 4 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 2 · 2021 J2 ex. 3 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2022 J2 ex. 1
• Amérique du Sud — 2023 J2 ex. 4
• Asie — 2023 J2 ex. 2
• Centres Étrangers — 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1

Résolution d'équation $e^A = k$ ou $e^A = e^B$ (M1) :

• Polynésie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3

Inégalité par étude de fonction ou convexité (M6) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4