Exercice 4 — Fonction exponentielle, Logarithme népérien

Principaux domaines abordés : Probabilités.

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

• un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;

• un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;

• un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

• 1. On considère que l'urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

  • a) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  • b) Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.

• 2. On considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.

  • a) Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie. Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
  • b) Résoudre l'inéquation pour $x$ réel : $-x^2 + 30x - 81 > 0$
  • c) En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l'urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
  • d) Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d'obtenir un gain moyen maximal ?

• 3. On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l'urne (avec 3 jetons blancs). Quelle est la probabilité d'avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros ?