Exercice 4 — Dérivation et convexité, Limites de fonctions

Partie A : lecture graphique

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A(1 ; 0). On précise que $T$ passe par le point B$(0 ; -2)$.

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Déterminer $f'(1)$.

• 2. La fonction $f$ est-elle concave sur $\left]\dfrac{1}{2} ;+\infty\right[$ ?

• 3. Déterminer $f''(1)$.

Partie B : étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$ par :

$f(x) = x\ln(2x-1)$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que :

• la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ;+\infty\right[$, que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde ;

• $\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$.

• 1. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $\dfrac{1}{2}$. En déduire une interprétation graphique.

• 2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$.

• 3. On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ;+\infty\right[$ :

  $f'(x) = \ln(2x-1) + \dfrac{2x}{2x-1}.$

  • a) Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ;+\infty\right[$ :

    $f''(x) = \dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.$

  • b) Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

• 4.

  • a) Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[1 ; 2]$.

  • b) On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$, on a :

    $\dfrac{x^2}{2x-1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}.$

    Montrer que :

    $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2x-1}\, \text{d}x = 1 + \dfrac{1}{8}\ln (3).$

  • c) On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.

    En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire.

Partie C : généralisation

On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{a} ; +\infty\right[$ par :

$f_a(x) = x\ln(ax - 1).$

On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{a} ; +\infty\right[$. On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique.

On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{a} ; +\infty\right[$:

$f_a''(x) = \dfrac{a(ax-2)}{(ax-1)^2}.$

• 1. Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion A$_a$.

• 2. Montrer que les points A$_a$ sont alignés, $a$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$.