Exercice 1 — Primitives, Dérivation et convexité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Question 1 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^x$.

Une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ est définie par:

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Question 2 :

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$. On sait que :

• le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d'abscisse 3 ;
• le point P d'abscisse 5 est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On a:

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Question 3 :

On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ;  +\infty[$ par $g(t) = \dfrac{a}{b + \text{e}^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On sait que $g(0) = 2$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 3$.

Les valeurs de $a$ et $b$ sont:

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Question 4 :

Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.

L'urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.

L'urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.

Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.

La probabilité qu'elle ait choisi l'urne B est:

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Question 5 :

On pose $S = 1 + \dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + … + \dfrac{1}{100}$.

Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :

a.  &b.  

def somme_a():
     S = 0
     for k in range(100):
     S=1/(k+1)
     return S

&

def somme_b():
     S = 0
     for k in range(100) :
     S = S + 1/(k + 1)
     return S

**c.  **&**d.  **

def somme_c():
     k = 0
     while S < 100 :
     S = S+1/(k+1)
     return S

&

def somme_d():
     k = 0
     while k < 100:
     S = S + 1/(k + 1)
     return S