Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par:

$u_0 = 10$, et pour tout entier naturel $n,\,u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2$.

• 1. Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0.
• 2. Affirmation 2 : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
• 3. Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique.

Partie 2

On considère l'équation différentielle $(E) :\, y' = \dfrac32 y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

• 1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle (E).

• 2. Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$ on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.

• 3. Affirmation 5 : La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \text{e}^{\frac32}$.