Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.

On estime que, toutes les $30$ minutes, l'organisme du patient élimine 10 % de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.

On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant :

pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

• 1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

• 2. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.

• 3.

  • a) Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1} < 5$.

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 4. On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

  • a) Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.

    def efficace():
         u=1
         n=0
         while …… :
             u=……
             n = n+1
          return n
    

  • b) Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

• 5. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$.

  • a) Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $\left(v_0\right)$.

  • b) Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.

  • c) Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.

    D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier.

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.

Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.

La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$, définie sur $[0 ;  +\infty[$, par

$f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},$

où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.

On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

• 1. Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?
• 2. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
• 3. Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.