Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Commun à tous les candidats

Au 1$^{er}$ janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10560 panneaux solaires.

On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10560$ et, pour tout entier naturel $n$,, $u_{n+1} = 0,98u_n +250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1$^{er}$ janvier de l'année $2020 +n$.

• 1.

  • a) Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.

  • b) On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12000.

    À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

  • c) Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.

    u = 10560
    n =0
    while  … … :
         u = … …
         n = … …
    

• 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant 12500$.

• 3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

• 4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.

• 5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 12500$, pour tout entier naturel $n$.

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont on précisera le premier terme.

  • b) Exprimer, pour tout entier naturel $n$,, $v_n$ en fonction de $n$.

  • c) En déduire, pour tout entier naturel $n$,, $u_n$ en fonction de $n$.

  • d) Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

    Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ;  +\infty[$ par

$f(x) = 12500 - 500 \text{e}^{-0,02x+1,4},$

où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{er}$ janvier 2020.

• 1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
• 2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
• 3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera 12000.