Exercice 3 — Limites de suites, Suites et récurrence

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

• 1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par

  $u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 +3^n}.$

  Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac 53$.

• 2. On considère la suite $(w_n)$ définie par:

  $w_0 = 0$: et, pour tout entier naturel: $n, w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$.

  Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n,\: w_n \geqslant n$.

• 3. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) en page suivante.

  On précise que:

• 4. $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 8 ;

• 5. L'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.

• 6. Affirmation 4 : Pour tout réel $x > 0,\quad \ln (x) - x + 1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.