Exercice 4 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Principaux domaines abordés: Étude de fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère les points A(1 ; 3) et B(3 ; 5).

On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

• 1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.

• 2. La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.

  • a) Déterminer l'expression de $f'(x)$.

  • b) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents.

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).$

• 1. Montrer que $f$ est une fonction paire.

• 2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

• 3. Déterminer l'expression de $f'(x)$.

  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.

• 4. À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.

• 5. Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$.

Partie C

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$.

• 1. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
• 2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.
• 3. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.