Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Partie A

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=30$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10$.

Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-20$.

• 1. Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$.
• 2. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$,
• 3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
• 4. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
• 5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Justifier la réponse.

Partie B

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

w_{0}=45 w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7 \end{cases}$$ - **1.** Montrer que $w_{1} = 44,5$. On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite. ```python 1&def suite(n): 2& U=30 3& W=45 4& for i in range (1,n+1): 5& U=U/2+10 6& W=W/2+U/2+7 7& return W ``` - **1.** L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_{1}$. Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ? - **2.** - **a)** Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a : $$w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34$$ - **b)** On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, on a : $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(w_{n}\right)$ ?