Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère :

• les points C$(3 ; 0 ; 0)$, D$(0 ; 2 ; 0)$, H$(-6 ; 2 ; 2)$ et J$\left(\dfrac{-54}{13} ; \dfrac{62}{13} ; 0\right)$;
• le plan $P$ d'équation cartésienne $2 x+3 y+ 6 z-6 = 0$;
• le plan $P'$ d'équation cartésienne $x - 2 y + 3 z - 3 = 0$;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=- 8+\frac{1}{3} t

y = -1+\frac{1}{2} t

z=-4+t\end{cases}, \enskip t \in \mathbb{R}$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

**Affirmation 1 : ** La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en H.

**Affirmation 2 : ** La mesure en degré de l'angle $\widehat{\mathrm{D C H}}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17,3^{\circ}$.

**Affirmation 3 : ** Les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&3-3 t \\ y&=&0 \\ z&=&\phantom{3- 3}t \end{array}\right.,\enskip t \in \mathbb{R}$.

**Affirmation 4 : ** Le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite (CD).