Exercice 1 — Suites et récurrence, Limites de suites

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1$^{er}$ janvier 2025, on introduit 6000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$.

Pour tout entier naturel $n,\: u_n$ représente la population au 1$^{er}$ janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

• 1. Donner, selon ce modèle, la population au 1$^{er}$ janvier 2026.

• 2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

• 3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par

$v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -0,05v_n^2 +1,1v_n$.

Pour tout entier naturel $n, v_n$ représente la population au 1$^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

• 1. Donner, selon ce modèle, la population au 1$^{er}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par

$f(x) = -0,05x^2 + 1,1x.$

• 1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 11].

• 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a

  $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6.$

• 3. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.

• 4.

  • a) Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.

  • b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

• 1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3000 individus.

• 2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3000 individus.

• 1. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

• 2. On considère le programme Python ci-contre.

  • a) Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

  • b) Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

n=0
u = 6
v = 6
while … :
     u = …
     v= …
     n = n+1
print (2025 + n)