Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0{,}85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

• si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0{,}6$ ;
• si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0{,}6$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.

Partie A

On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

• 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
• 2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_2$ est égale à $0{,}57$.
• 3. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.
• 4. Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
  • a) Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).
  • b) Calculer l'espérance mathématique $\text{E}(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On s'intéresse maintenant au cas général. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.

• 1.
  • a) Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})$.
  • b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0{,}2x_n + 0{,}4$.
• 2. Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0{,}5$.
  • a) Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
  • b) Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.
  • c) Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.