Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère les points suivants

$\mathrm{A}(0 ; 0 ; 1) ;\quad \mathrm{B}(1 ; 2 ; 3) ;\quad \mathrm{C}(3 ; 3 ; 1) ;\quad \mathrm{E}(2 ;-2 ; 2) ;\quad \mathrm{F}(3 ; 0 ; 4) \quad \text{et} \quad \mathrm{G}(5 ; 1 ; 2)$

• 1.

  • a) Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.

  • b) Justifier que le vecteur $\overrightarrow{AF}$ est normal au plan (BCE).

  • c) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCE) est $x+z-4=0$.

• 2.

  • a) Montrer que le point G n'appartient pas au plan (BCE).

  • b) Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AG}$ ne sont pas coplanaires.

  • c) En déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants.

Pour la suite de l'exercice, on appellera P le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BCE).

• 1.

  • a) Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (AG) est :

    x=5 t y=t z=1+t \end{cases} t \in \mathbb{R}$$

  • b) En déduire les coordonnées du point P.

  • c) Montrer que le point P est le milieu du segment [EC].

• 2. Déterminer l'intersection des plans (BCE) et (ACG).