Exercice 3 — Loi binomiale, Variables aléatoires et sommes

Dominique répond à un QCM comportant 10 questions.

Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte.

Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.

Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\dfrac{1}{4}$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

• 1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.

• 2. Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.

• 3. Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

• 4. On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte un point et qu'une mauvaise réponse fait perdre 0,5 point. La note finale peut donc être négative.

  On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

  • a) Calculer $P(Y=10)$, on donnera la valeur exacte du résultat.

  • b) À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.

  • c) Calculer $P(Y \leqslant 0)$, on donnera une valeur approchée au centième.

  • d) Montrer que $Y=1,5 X-5$.

  • e) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.