Exercice 1 — Dérivation, Équations différentielles

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=x \text{e}^{-2 x}.$

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

*Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée.

Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.*

Affirmation 1. Pour tout réel $x$, on a $f'(x)=(-2 x+1) \text{e}^{-2 x}$.

Affirmation 2. La fonction $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle :

$y'+2 y=\text{e}^{-2 x}.$

Affirmation 3. La fonction $f$ est convexe sur $]-\infty  ;  1]$.

Affirmation 4. L'équation $f(x)=-1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 5. L'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à $\dfrac{1}{4}-\dfrac{3 \text{e}^{-2}}{4}$.