Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

• 1. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \ln \left(1 + x^2\right)$. Sur $\mathbb{R}$, l'équation $f(x) = 2022$

  • a. n'admet aucune solution.
  • b. admet exactement une solution.
  • c. admet exactement deux solutions.
  • d. admet une infinité de solutions.

• 2. Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $g(x) = x \ln (x) - x^2$. On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  • a. La fonction $g$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • b. La fonction $g$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • c. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • d. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement deux points d'inflexion sur $]0\,;\,+\infty[$.

• 3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1\,;\,1[$ par $f(x) = \dfrac{x}{1 - x^2}$. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-1\,;\,1[$ par :

  • a. $g(x) = -\dfrac12 \ln \left(1 - x^2\right)$
  • b. $g(x) = \dfrac{1 + x^2}{\left(1 - x^2\right)^2}$
  • c. $g(x) = \dfrac{x^2}{2\left(x - \dfrac{x^3}{3}\right)}$
  • d. $g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left(1 - x^2\right)$

• 4. La fonction $x \longmapsto \ln \left(-x^2 - x + 6\right)$ est définie sur

  • a. $]-3\,;\,2[$
  • b. $]-\infty\,;\,6]$
  • c. $]0\,;\,+\infty[$
  • d. $]2\,;\,+\infty[$

• 5. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3\ln (2x - 1)$. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :

  • a. $y = 4x - 7$
  • b. $y = 2x - 4$
  • c. $y = -3(x - 1) + 4$
  • d. $y = 2x - 1$

• 6. L'ensemble $S$ des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln (x + 3) < 2\ln (x + 1)$ est :

  • a. $S = ]-\infty\,;\,-2[ \cup ]1\,;\,+\infty[$
  • b. $S = ]1\,;\,+\infty[$
  • c. $S = \emptyset$
  • d. $S = ]-1\,;\,1[$