Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Fonction exponentielle

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle et suite.

Partie A

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \text{e}^x - x$.

• 1. Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
• 2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.
• 3. En déduire que : si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ alors $h(a) - h(b) < 0$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

• 1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $0$. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $\mathcal{C}_f$ de même abscisse.

On s'intéresse aux points d'abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul. On considère alors la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :

$u_n = \exp\left(\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{n} - 1$

• 2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

• 3.

  • a) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1} - u_n = h\left(\dfrac{1}{n + 1}\right) - h\left(\dfrac{1}{n}\right)$ où $h$ est la fonction définie à la partie A.
  • b) En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

• 4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

  $n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  $u_n$	0,718281828	0,148721271	0,062279092	0,034025417	0,021402758	0,014693746	0,010707852	0,008148453	0,006407958	0,005170918

  Donner la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.