Exercice 2 — Suites et récurrence, Logarithme népérien

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace.

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :

$\text{A}(2\,;\,0\,;\,3),\ \text{B}(0\,;\,2\,;\,1),\ \text{C}(-1\,;\,-1\,;\,2)\ \text{ et D}(3\,;\,-3\,;\,-1).$

• 1. Calcul d'un angle

  • a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
  • b) Calculer les longueurs AB et AC.
  • c) À l'aide du produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$, déterminer la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ au dixième de degré.

• 2. Calcul d'une aire

  • a) Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).
  • b) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
  • c) En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c'est-à-dire du point d'intersection de la droite (AB) et du plan $\mathcal{P}$.
  • d) Calculer l'aire du triangle ABC.

• 3. Calcul d'un volume

  • a) Soit le point F$(1\,;\,-1\,;\,3)$. Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.
  • b) Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).
  • c) Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.