Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

• 1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}$. On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  • a. $f'(x) = \text{e}^{-x}$
  • b. $f'(x) = x\text{e}^{-x}$
  • c. $f'(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}$
  • d. $f'(x) = (1 + x)\text{e}^{-x}$

• 2. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3\,;\,1]$. On donne la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f''$ (voir la figure dans le sujet PDF ci-dessus). On peut alors affirmer que :

  • a. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1\,;\,1]$.
  • b. La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[-2\,;\,0]$.
  • c. La fonction $f'$ est décroissante sur l'intervalle $[-2\,;\,0]$.
  • d. La fonction $f'$ admet un maximum en $x = -1$.

• 3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$,

  • a. $F(x) = -\dfrac16\left(x^3 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$
  • b. $F(x) = -\dfrac14 x^4\text{e}^{-x^2}$
  • c. $F(x) = -\dfrac12\left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$
  • d. $F(x) = x^2\left(3 - 2x^2\right)\text{e}^{-x^2}$

• 4. Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x - 1}$ ?

  • a. $-1$
  • b. $1$
  • c. $+\infty$
  • d. n'existe pas

• 5. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{2x + 1}$. La seule primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ telle que $F(0) = 1$ est la fonction :

  • a. $x \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - 2\text{e} + 1$
  • b. $x \longmapsto 2\text{e}^{2x+1} - \text{e}$
  • c. $x \longmapsto \dfrac12\text{e}^{2x+1} - \dfrac12\text{e} + 1$
  • d. $x \longmapsto \text{e}^{x^2 + x}$

• 6. Dans un repère, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2\,;\,4]$ (voir la figure dans le sujet PDF ci-dessus). Parmi les courbes proposées (a., b., c., d.), laquelle représente la fonction $f''$, dérivée seconde de $f$ ?