Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme et suite.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x\ln (x) + 1$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.

• 2.

  • a) On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1 + \ln (x).$
  • b) En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et les limites.
  • c) Justifier que pour tout $x \in\ ]0\,;\,1[,\ f(x) \in\ ]0\,;\,1[$.

• 3.

  • a) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
  • b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • c) En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif : $f(x) \geqslant x$

• 4. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle $]0\,;\,1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

  • a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < 1$.
  • b) Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
  • c) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.