Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

• Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
• Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas. Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.

On considère les évènements suivants :

• $M$: « le coyote est malade »;

• $T$: « le test du coyote est positif ». On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les évènements contraires de $M$ et $T$.

• 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

• 3. Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.

• 4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.

  Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.

• 5.

  • a) Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
  • b) Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.

• 1. Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

  • a) Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
  • b) Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
  • c) Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

• 2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?