Exercice 4 — Étude complète de fonction, Fonction exponentielle

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par:

$f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)\text{e}^{0,2x} - 2,2.$

On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.

• 1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.

  • b) Justifier les variations de la fonction $f$.

  • c) Résoudre l'équation $f(x) = 0$.

• 2.

  • a) Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

  • b) Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; +\infty[$ on a : $g'(x) = (- 0,03x + 0,29)\text{e}^{0,2x}$.

  • c) Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0 ; +\infty[$.

    Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.

  • d) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B : trajectoires d'une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.

On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.

On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.

On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 13,7].

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).

On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.

De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.

Tous les angles sont mesurés en degré.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

• 1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.

  Selon ce modèle :

  • a) Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

  • b) Vérifier que $f'(0) = 0,822$.

  • c) Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

  • d) Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?

• 2. *Seconde modélisation * : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle.

  Selon ce modèle :

  • a) Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

    On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.

  • b) Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

  • c) Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.

  Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.