Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].

On se place dans le repère $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$ et on considère le tétraèdre EFGK.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:

$V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$

où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.

• 2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}2

  -2

  \phantom{-}1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (EGK).

• 3. Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne : $2x - 2y + z - 1 = 0.$

• 4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EGK) passant par F.

• 5. Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées $\left(\frac59 ; \frac49 ; \frac79\right)$.

• 6. Justifier que la longueur LF est égale à $\dfrac23$.

• 7. Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à $\dfrac16$.

• 8. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.

• 9. On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.