Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.

On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.

Ce test possède les caractéristiques suivantes.

• Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.

• Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas. On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :

• $M$ : « Le chat est porteur de la maladie » ;

• $T$ : « Le test du chat est positif » ;

• $\overline{M}$ et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires des évènements $M$ et $T$ respectivement.

• 1.

  • a) Traduire la situation par un arbre pondéré.

  • b) Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.

  • c) Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.

  • d) On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.

• 2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.

  • a) Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.

  • b) Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif.

  • c) Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif.

  • d) Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 3. Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_n$ la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.

  • a) Montrer que $p_n = 1 - 0,55^n$.

  • b)  

    Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage Python, dans lequel la variable $n$ est un entier naturel et la variable $P$ un nombre réel.

    def seuil():
         n=0
         P=0
         while P< 0,99 :
              n = n+1
              P=1 - 0,55**n
         return n
    

  • c) Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.