Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.$

• 1.  

  La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_n}$, (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).

  À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$ en fonction de $n$.

  Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (question 6.).

  $\begin{array}{|c|c|c|} n&u_n&\dfrac{4}{u_n} \\ 0 &1,00 &4 \\ 1 &0,80 &5 \\ 2 &0,67 &6 \\ 3 &0,57 &7 \\ 4 &0,50 &8 \\ 5 &0,44 &9 \\ 6 &0,40 &10 \\ 7 &0,36 &11 \\ 8 &0,33 &12 \\ 9 &0,31 &13 \\ 10 &0,29& 14 \\ 11 &0,27& 15 \\ 12 &0,25 &16 \end{array}$

• 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.

• 3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

• 4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $\left(u_n\right)$ ?

• 5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.

  Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.

  Préciser sa raison et son premier terme.

  En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

• 6. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

  En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.