Exercice 4 — Logarithme népérien, Dérivation

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie 1

On désigne par $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par:

$h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x^2}.$

On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]0 ;  +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

• 1. Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+ \infty$.
• 2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0 ;  +\infty[$,, $h'(x) = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$.
• 3. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.
• 4. Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $]0 ;  +\infty[$ et vérifier que : $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$.
• 5. Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0 ;  +\infty[$.

Partie 2

On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0 ;  +\infty[$ par :

$f_1(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2} \text{et} f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}.$

On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

• 1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ;  +\infty[$, on a :

  $f_1(x) - f_2(x) = h(x).$

• 2. Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

  On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées $(\alpha ; \alpha)$.

  On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $h(x) = 0$.