Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

*Les parties A et B sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.*

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

• Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas;
• Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.

Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

• $A$ l'évènement « l'individu est allergique » ;
• $T$ l'évènement « l'individu présente un test positif ».

On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$. On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'évènement $A$ : $x = p(A)$.

Partie A

• 1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

• 2.

  • a) Démontrer l'égalité : $p(T) = 0,927x + 0,043$.

  • b) En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.

• 3. Justifier par un calcul l'affirmation suivante :

  « Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80 % de chances que cet individu soit allergique ».

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie B

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

• 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?

  Préciser ses paramètres.

• 2. Déterminer la probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.

• 3. Déterminer la probabilité qu'au moins 10 % des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.