Exercice 4 — Limites de fonctions

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. On considère ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\ \{- 2\}$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Affirmation 1 :

    La droite d'équation $y = -2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

  • b) Affirmation 2:

    $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{f(x) - 5} = + \infty$.

• 2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\text{e}^{-x}$.

  • a) Affirmation 3 :

    Le point A$\left(2 ; \dfrac{2}{\text{e}^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.

  • b) Affirmation 4 :

    Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $] - \infty ; 2[$, on a $g(x) \leqslant x$.

• 3. Affirmation 5 :

  L'équation $x \ln (x) = 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.