Exercice 4 — Dérivation et convexité, Limites de fonctions

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=5 \ln \left(x^{2}+1\right)-3 x$

et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\mathbb{R}$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

• 2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

• 3.

  • a) Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,

    $f(x)=x\left(10 \dfrac{\ln x}{x}-3\right)+5 \ln \left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$

  • b) Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 4.

  • a) Démontrer que pour tout $x$ réel, $f'(x)= \dfrac{-3 x^{2}+10 x-3}{x^{2}+1}$.

  • b) Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout réel $x$,

  $f''(x)=\dfrac{-10 x^{2}+10}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

  • a) Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.

  • b) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.

  • c) En déduire que pour tout $x \geqslant 1$, $\ln \left(x^{2}+1\right) \leqslant x+\ln (2)-1$.