Exercice 4 — Limites de fonctions, Logarithme népérien

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} + 1$

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

  En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

• 2. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$, on a :

  $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}$

• 3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

• 4.

  • a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

  • b) Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$.

  • c) En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

• 5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par :

  $g(x) = \ln(x)$

  On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine O. On considère un réel $x$ strictement positif et le point M de la courbe $C_{g}$ d'abscisse $x$. On note OM la distance entre les points O et M.

  • a) Exprimer la quantité OM$^{2}$ en fonction du réel $x$.

  • b) Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0 ;  +\infty[$, la quantité OM$^{2}$ admet un minimum en $\alpha$.

  • c) La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0 ; +\infty[$, est appelée distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. On note $d$ cette distance.

    Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.