LIMITES DE FONCTIONS

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est la sœur jumelle du chapitre Limites de suites : mêmes théorèmes (opérations, gendarmes, comparaison), mêmes techniques (factorisation, quantité conjuguée, croissance comparée), transposés aux fonctions. Il est indispensable à toute étude de fonction complète : sans limites aux bornes, pas de tableau de variations complet.

Prérequis indispensables :

• Limites de suites (chapitre parent, mêmes théorèmes)
• Fonction exponentielle et logarithme (limites de référence, croissances comparées)
• Manipulation des fractions rationnelles et racines carrées

Chapitre débouchant sur : Étude complète de fonction (systématiquement), Continuité et TVI (pour appliquer les théorèmes aux bornes ouvertes), Primitives et intégration.

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1. Notions clés

1.1 Limite en $+\infty$ ou $-\infty$

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ : $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ devient grand.
• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ : $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut.

Idem pour $x \to -\infty$.

1.2 Limite en un point $a$ fini

• Limite finie : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ (continuité si $\ell = f(a)$).
• Limite infinie : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (existence d'une asymptote verticale d'équation $x = a$).

1.3 Limite à droite / à gauche

Quand $f$ n'est pas définie en $a$, ou que le comportement diffère, on distingue :

• $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ : $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures.
• $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ : $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures.

Exemple. $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$.

1.4 Asymptotes

• Asymptote horizontale en $+\infty$ (ou $-\infty$) : si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
• Asymptote verticale en $a$ : si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Limites de référence

Polynômes et racines ($n \in \mathbb{N}^*$) :

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}$

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$

Fractions :

$\lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & (n \text{ pair}) \\ -\infty & (n \text{ impair}) \end{cases}$

Exponentielle et logarithme :

$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

T2 — Opérations sur les limites (mêmes règles que pour les suites)

Les limites se comportent bien par somme, produit et quotient — sauf pour les quatre formes indéterminées (F.I.) :

$\text{« } +\infty - \infty \text{ »} \qquad \text{« } 0 \times \infty \text{ »} \qquad \text{« } \dfrac{\infty}{\infty} \text{ »} \qquad \text{« } \dfrac{0}{0} \text{ »}$

T3 — Croissances comparées

En $+\infty$ : l'exponentielle domine les polynômes qui dominent le logarithme.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0 \; (n \geqslant 1)$

En $-\infty$ et $0^+$ (par produit) :

$\lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \; (n \geqslant 1)$

T4 — Théorème de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x) \leqslant g(x)$ au voisinage de $a$ (fini ou infini).

• Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$.
• Si $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$.

T5 — Théorème des gendarmes (encadrement)

Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions telles que $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ au voisinage de $a$.

Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = \ell$ (même limite finie), alors $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \ell$.

T6 — Limite d'une composée

Si $\lim\limits_{x \to a} {\color{#0070C0}{u}}(x) = b$ et $\lim\limits_{y \to b} g(y) = \ell$, alors : $\lim_{x \to a} g\big({\color{#0070C0}{u}}(x)\big) = \ell$

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ : on pose $u(x) = -x^2$. $\lim u = -\infty$, et $\lim\limits_{y \to -\infty} e^y = 0$. Donc $\lim e^{-x^2} = 0$.

T7 — Asymptotes

• Asymptote horizontale $y = \ell$ en $+\infty$ ⇔ $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (finie).
• Asymptote verticale $x = a$ ⇔ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (par la gauche, la droite, ou les deux).

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calcul direct par opérations sur les limites

Démarche. Utiliser les limites de référence et les règles d'opération. Si aucune F.I., conclure directement.

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 + e^x + \ln x)$.

$\lim x^2 = +\infty$, $\lim e^x = +\infty$, $\lim \ln x = +\infty$. Par somme : $+\infty$.

Exemple. $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x} + \ln x \right)$.

$\lim \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim \ln x = -\infty$ : forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ».

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M2 — Lever une F.I. (les trois techniques classiques)

Technique 1 — Factorisation par le terme dominant (F.I. « $\infty - \infty$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty}$ »).

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$ : F.I. « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».

Factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant : $\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{x^2\!\left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right)} = \dfrac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{5}{x^2}}$

Quand $x \to +\infty$, cette expression tend vers $\dfrac{2}{1} = 2$.

Technique 2 — Quantité conjuguée (racines carrées avec F.I. « $\infty - \infty$ »).

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)$ : F.I. « $\infty - \infty$ ».

$\sqrt{x^2 + 1} - x = \dfrac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc l'expression tend vers $0$.

Technique 3 — Simplification (F.I. « $\dfrac{0}{0}$ » en un point fini).

Exemple. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ : F.I. « $\dfrac{0}{0}$ ».

$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$ (pour $x \ne 1$).

Donc $\lim = 1 + 1 = 2$.

Où c'est tombé : QCM systématique dans toutes les sessions. Métropole 2021, 2022, 2023, 2024.

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M3 — Utiliser croissance comparée

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3 + 5}$ : F.I. « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».

Diviser numérateur et dénominateur par $x^3$ : $\dfrac{e^x}{x^3 + 5} = \dfrac{e^x / x^3}{1 + 5/x^3}$

Par croissance comparée, $\dfrac{e^x}{x^3} \to +\infty$. Le dénominateur tend vers $1$. Donc $\lim = +\infty$.

Autre exemple. $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (croissance comparée directe).

Où c'est tombé : QCM très classique dans toutes les sessions récentes.

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M4 — Théorème des gendarmes (encadrement)

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$.

On a $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, donc $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\cos x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$.

Les deux « gendarmes » tendent vers $0$, donc $\lim \dfrac{\cos x}{x} = 0$.

Où c'est tombé : Métropole 2021, Asie 2022, Polynésie sept. 2023.

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M5 — Identifier une asymptote horizontale ou verticale

Asymptote horizontale.

Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. Si finie et égale à $\ell$, alors $y = \ell$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

Rédaction : « $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$, donc la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. »

Asymptote verticale.

Chercher les valeurs $a$ où $f$ n'est pas définie ou pose problème (annulation de dénominateur, log de $0$...). Calculer $\lim\limits_{x \to a^\pm} f(x)$. Si $\pm\infty$, alors $x = a$ est asymptote verticale.

Où c'est tombé : QCM régulier — Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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M6 — Limite de fonction composée

Démarche. Identifier la composition $g \circ u$ et poser le changement de variable implicite $Y = u(x)$.

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

Poser ${\color{#0070C0}{u}}(x) = \dfrac{1}{x}$. Alors $\lim {\color{#0070C0}{u}}(x) = 0^+$ (quand $x \to +\infty$). Or $\lim\limits_{Y \to 0^+} \ln Y = -\infty$. Donc $\lim = -\infty$.

Où c'est tombé : systématique dans les études de fonctions composées.

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4. Analyse fréquentielle

• Le calcul de limite apparaît dans 100 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent : questions préliminaires d'un exercice d'étude de fonction — « déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition ». Une à trois limites à calculer selon le sujet.
• QCM classique : identifier la limite d'une expression du type $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, $\dfrac{e^x}{x^n}$, ou $x^n \ln x$.
• Asymptotes en QCM (M5) : régulier — présent dans plusieurs sessions par an.
• Croissance comparée en QCM (M3) : ultra-fréquent — au moins une question par session.
• Théorème des gendarmes : apparaît quand il y a $\sin$, $\cos$, ou $(-1)^n$ (moins fréquent que le TCM des suites, mais tombant).
• Fonction composée $e^{u}$, $\ln u$ : systématique.

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5. Erreurs fréquentes

1. Sauter la mention de F.I. : passer directement au calcul du résultat sans annoncer l'indétermination — perte de point.
2. Confondre limite à droite et à gauche : $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ n'existe pas ; il faut préciser $0^+$ ou $0^-$.
3. Oublier que $\ln$ n'est pas défini en $0$ : la limite en $0^+$ est $-\infty$, pas $0$.
4. Confondre $\lim\limits_{+\infty} f$ finie ⇔ asymptote horizontale avec « $f$ tend vers $0$ » : n'importe quelle limite finie donne une asymptote.
5. Utiliser les gendarmes avec deux limites différentes : les gendarmes exigent la même limite finie pour l'encadrement.
6. Confondre théorème de comparaison et théorème des gendarmes : gendarmes = 3 fonctions, même limite finie ; comparaison = 2 fonctions, limite infinie.
7. Diviser par $x$ dans la factorisation sans distinguer les cas $x > 0$ et $x < 0$ quand on tend vers $-\infty$ (surtout avec les racines).
8. Écrire $\sqrt{x^2} = x$ : c'est $|x|$. En $+\infty$, $|x| = x$ ; en $-\infty$, $|x| = -x$.
9. Rater une croissance comparée en ne reconnaissant pas la forme $\dfrac{e^x}{x^n}$ ou $x^n \ln x$.
10. Confondre asymptote et tangente : l'asymptote est une droite dont la courbe se rapproche à l'infini ; la tangente est une droite qui touche la courbe en un point.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule / règle
Limites usuelles	$\lim_{+\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{-\infty} e^x = 0$, $\lim_{0^+} \ln = -\infty$
Formes indéterminées	$\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$
Croissance comparée	$\frac{e^x}{x^n} \to +\infty$, $\frac{\ln x}{x^n} \to 0$ (en $+\infty$), $x \ln x \to 0$ (en $0^+$)
Gendarmes	Trois fonctions, même limite finie
Comparaison	Deux fonctions, limite infinie
Composée	$\lim_{x \to a} g(u(x)) = \lim_{Y \to b} g(Y)$ avec $b = \lim_{x \to a} u(x)$
Asymptote H	$\lim_{+\infty} f = \ell$ ⇒ $y = \ell$ asymptote
Asymptote V	$\lim_{x \to a} f = \pm\infty$ ⇒ $x = a$ asymptote
$\sqrt{x^2}$	$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

F.I. et factorisation en QCM (M2) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 1
• Polynésie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3

Croissance comparée en QCM (M3) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 1
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 2

Asymptotes en QCM (M5) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4
• Polynésie — 2024 J1 ex. 2

Théorème des gendarmes (M4) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1
• Asie — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 2
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2

Quantité conjuguée pour lever F.I. (M2 technique 2) :

• Amérique du Nord — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 2