Exercice 4 — Limites de fonctions, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par

$f(x) = x(\ln x)^2.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 2. Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x\ln x$.

  • a) Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) = 4\left(g\left(\sqrt x\right)\right)^2$.

  • b) En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

• 3. Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • a) Démontrer que sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, : $f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)$.

  • b) En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • c) Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 1]$.

• 4. On considère l'équation $f (x) = 2$.

  • a) Justifier que, sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, cette équation admet une unique solution.

    On note $\alpha$ cette solution.

  • b) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.

• 5. Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 1].

  • a) Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x$.

  • b) À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :

    $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x = - \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \displaystyle\int_a^1 x \ln x\: \text{d}x.$

  • c) En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :

    $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x = - \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2} \ln a + \dfrac14 - \dfrac{a^2}{4}.$

  • d) Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x$ quand $a$ tend vers 0.