Exercice 1 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

On considère un repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)$ de l'espace dans lequel on place les points

B(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0), E(0 ; 0 ; 4) et les points C, F, G et H de sorte que le solide ABCDEFGH soit un cube.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner les coordonnées des points C, F, G et H.

• 2. On considère le point I milieu de l'arête [EF].

  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IC) est donnée par:

  x &=&2+2t \\

y &=&\phantom{2 + }4t \ z &=&4 - 4t \end{array}\right.:\text{où} : t \in \mathbb{R}.$$

• 3. On désigne par $\mathcal{P}$ le plan orthogonal à la droite (IC) passant par le point G, et par J l'intersection de $\mathcal{P}$ avec (IC).

  • a) Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par :

    $x + 2y - 2z - 4 = 0.$

  • b) Justifier que J a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9} ; \dfrac{20}{9} ; \dfrac{16}{9}\right)$.

    Que représente J par rapport à C ?

  • c) Vérifier que le point K(0 ; 2 ; 0) appartient au plan $\mathcal{P}$.

  • d) Justifier que (BK) est l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et (ABC).

• 4. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$, où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.

  • a) Déterminer le volume de la pyramide CBKG.

  • b) En déduire que l'aire du triangle BKG est égale à $12$.

  • c) Justifier que la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}$.

  • d) On note I$'$ un point de l'arête [EF], et $P'$ le plan orthogonal à la droite (I$'$ C) passant par G.

    Peut-on affirmer que la droite (BG) est incluse dans $P'$ ?