Exercice 4 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Principaux domaines abordés : probabilités.

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.*

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.

Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.

En raison d'interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission:

un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.

Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

• $E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ » ;
• $E_1$ : « le bit envoyé est un 1 » ;
• $R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »
• $R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

(Figure : voir le sujet PDF.)

On sait que:

$p\left(E_0\right) = 0,4 \:;\quad p_{E_0}\left(R_1\right) = 0,01 \:;\quad p_{E_1}\left(R_0\right) = 0,02$.

On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.

• 1. La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :

  • A. **a.  **0,99
  • B. **b.  **0,396
  • C. **c.  **0,01
  • D. **d.  ** 0,4

• 2. La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :

  • A. **a.  **0,99
  • B. **b.  **0,02
  • C. **c.  **0,408
  • D. **d.  **0,931

• 3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}\left(E_0\right)$ est égale

  • A. **a.  **0,004
  • B. **b.  **0,001
  • C. **c.  **0,007
  • D. **d.  **0,010

• 4. La probabilité de l'évènement «  il y a une erreur de transmission » est égale à :

  • A. **a.  **0,03
  • B. **b.  **0,016
  • C. **c.  **0,16
  • D. **d.  **0,015

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.

On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.

• 1. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

  La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :

  • A. **a.  **0,915
  • B. **b.  **0,109
  • C. **c.  **0,976
  • D. **d.  **0,085

• 2. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

  La probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :

  • A. **a.  ** $1 - 0,12^{10}$
  • B. **b.  **$0,12^{10}$
  • C. **c.  **$0,88^{10}$
  • D. **d.  ** $1- 0,88^{10}$

• 3. Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.

  Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.

  On peut affirmer que:

  • A. **a.  **$N_0 = 17$
  • B. **b.  **$N_0 = 18$
  • C. **c.  **$N_0 = 19$
  • D. **d.  **$N_0 = 20$