Exercice 1 — Étude complète de fonction, Dérivation et convexité

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par

$f(x) = x^2 - 6x + 4\ln (x).$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

On note $f$' sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

• 1.

  • a) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

    Interpréter graphiquement ce résultat.

  • b) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

• 2.

  • a) Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0 ; + \infty[$.

  • b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

    En déduire le tableau de variations de $f$.

• 3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [4 ; 5].

• 4. On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; + \infty[$, on a :

  $f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}.$

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; + \infty[$.

    On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

  • b) On note A le point de coordonnées $\left(\sqrt 2 ; f\left(\sqrt 2 \right)\right)$.

    Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \ne \sqrt 2$. Soit $M$ le point de coordonnées $(t ;  f(t))$.

    En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment [A$M$] et de la courbe $\mathcal{C}_f$.