Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Fonction exponentielle

Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = x^3\text{e}^x.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

  • a) Calculer $u_1$ puis $u_2$.

    On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.

  • b) On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous.

    On rappelle qu'en langage Python,

    « i in range (n) » signifie que

    i varie de 0 à n -1.

    def& fonc (n) :
    &u =- 1
    &for i in range(n) :
    &     u=u**3*exp(u)
    &return u
    

    Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc (2) arrondie à $10^{-3}$.

• 2.

  • a) Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\text{e}^x(x + 3)$.

  • b) Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ est celui représenté ci-dessous :

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    (Figure : voir le sujet PDF.)

  • c) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a :

    $- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0.$

  • d) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

  • e) On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

    On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.

    Déterminer $\ell$. (Pour cela, on admettra que l'équation $x^2\text{e}^x - 1 = 0$ possède une seule solution dans $\mathbb{R}$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac12$).