Exercice 3 — Logarithme népérien, Dérivation et convexité

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par:

$g(x) = \dfrac{2 \ln x}{ x}.$

• 1. On note $g'$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif :

  $g'(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x^2}.$

• 2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau:

  • a) la valeur $\dfrac{2}{\text{e}}$ ;

  • b) les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;

  • c) les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

• 3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par

$f(x) = [\ln (x)]^2.$

Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

• 1. Démontrer que sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.

• 2. À l'aide de la partie 1, étudier :

  • a) la convexité de la fonction $f$ ;

  • b) les variations de la fonction $f$.

• 3.

  • a) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse e.

  • b) En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0 ; \text{e}]$ :

    $[\ln (x)]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.$