DÉRIVATION ET CONVEXITÉ

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le socle de toute l'analyse de terminale. Il consolide la dérivation vue en première (ajout de la dérivée d'une fonction composée) et introduit la convexité. Il est réutilisé dans tous les autres chapitres de fonctions (exponentielle, logarithme, trigonométriques, étude complète, intégration).

Prérequis indispensables :

• Nombre dérivé, fonction dérivée (première)
• Dérivées des fonctions usuelles : $x^n$, $\sqrt{x}$, $\dfrac{1}{x}$, $\sin$, $\cos$
• Formules d'opération : somme, produit, quotient (première)
• Étude du signe d'un polynôme, d'une fraction rationnelle

Chapitre débouchant sur : Étude complète de fonction, Fonction exponentielle, Logarithme népérien, Fonctions trigonométriques, Primitives, Calcul intégral.

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1. Notions clés

1.1 Nombre dérivé et fonction dérivée (rappel)

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Il se note $f'(a)$.

La fonction dérivée $f'$ associe à tout $x$ où $f$ est dérivable le nombre $f'(x)$.

Équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ : $T_a : \; y = f'(a)(x - a) + f(a)$

1.2 Sens de variation et signe de la dérivée

Sur un intervalle $I$ où $f$ est dérivable :

• $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$ ⇔ $f$ croissante sur $I$.
• $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$ ⇔ $f$ décroissante sur $I$.
• $f'(x) = 0$ sur $I$ ⇔ $f$ constante sur $I$.

📌 Retenir : étudier les variations d'une fonction ⇔ étudier le signe de sa dérivée.

1.3 Convexité et concavité

Sur un intervalle $I$ où $f$ est deux fois dérivable :

• $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ (« forme de bol », creux vers le haut).
• $f$ est concave sur $I$ si sa courbe est en-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$ (« forme de dôme », creux vers le bas).

1.4 Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente — autrement dit, un point où la fonction change de convexité (passe de convexe à concave ou inversement).

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2. Formulaire — dérivées et propriétés

T1 — Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	Domaine
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^n}$	$-\dfrac{n}{x^{n+1}}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;+\infty[$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$]0\,;+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$

T2 — Opérations sur les dérivées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, $k \in \mathbb{R}$.

Fonction	Dérivée
$k\,u$	$k\,u'$
$u + v$	$u' + v'$
$u \times v$	$u'v + uv'$
$\dfrac{u}{v}$ (avec $v \ne 0$)	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$

T3 — Dérivée d'une fonction composée (nouveau en terminale)

Soient ${\color{#0070C0}{u}}$ dérivable et $g$ dérivable sur un intervalle contenant ${\color{#0070C0}{u}}$. Alors $g \circ {\color{#0070C0}{u}}$ est dérivable et :

$(g \circ {\color{#0070C0}{u}})'(x) = {\color{#0070C0}{u}}'(x) \times g'\big({\color{#0070C0}{u}}(x)\big)$

Cas particuliers indispensables au bac (formulaire) :

Fonction	Dérivée
${\color{#0070C0}{u}}^{\,n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,{\color{#0070C0}{u}}'\,{\color{#0070C0}{u}}^{\,n-1}$
$\dfrac{1}{{\color{#0070C0}{u}}}$	$-\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{{\color{#0070C0}{u}}^{\,2}}$
$\sqrt{{\color{#0070C0}{u}}}$	$\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{2\sqrt{{\color{#0070C0}{u}}}}$
$e^{{\color{#0070C0}{u}}}$	${\color{#0070C0}{u}}' \times e^{{\color{#0070C0}{u}}}$
$\ln({\color{#0070C0}{u}})$ (avec ${\color{#0070C0}{u}} > 0$)	$\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{{\color{#0070C0}{u}}}$
$\sin({\color{#0070C0}{u}})$	${\color{#0070C0}{u}}' \cos({\color{#0070C0}{u}})$
$\cos({\color{#0070C0}{u}})$	$-{\color{#0070C0}{u}}' \sin({\color{#0070C0}{u}})$

T4 — Théorème fondamental : signe de $f'$ et variations

Soit $f$ dérivable sur $I$.

$f'(x) \geqslant 0 \text{ sur } I \; \Leftrightarrow \; f \text{ croissante sur } I$

$f'(x) \leqslant 0 \text{ sur } I \; \Leftrightarrow \; f \text{ décroissante sur } I$

T5 — Convexité et dérivée seconde

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.

$f''(x) \geqslant 0 \text{ sur } I \; \Leftrightarrow \; f \text{ convexe sur } I$

$f''(x) \leqslant 0 \text{ sur } I \; \Leftrightarrow \; f \text{ concave sur } I$

T6 — Point d'inflexion

Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, alors le point $(x_0\,;f(x_0))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

⚠ Attention : il ne suffit pas que $f''(x_0) = 0$ — il faut aussi le changement de signe. Ex : $f(x) = x^4$ vérifie $f''(0) = 0$ mais $f''$ ne change pas de signe : pas de point d'inflexion en $0$.

T7 — Convexité et position courbe / tangente

• Si $f$ convexe sur $I$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
• Si $f$ concave sur $I$ : $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de toutes ses tangentes sur $I$.
• Si $(x_0\,;f(x_0))$ est un point d'inflexion : $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente en ce point.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calculer une dérivée avec formule composée

Type d'énoncé : « Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = e^{-x^2 + 3x}$. »

Démarche.

1. Identifier la forme : $e^{{\color{#0070C0}{u}}(x)}$ avec ${\color{#0070C0}{u}}(x) = -x^2 + 3x$.
2. Écrire la formule littérale : $(e^{{\color{#0070C0}{u}}})' = {\color{#0070C0}{u}}' \times e^{{\color{#0070C0}{u}}}$.
3. Calculer ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = -2x + 3$.
4. Substituer : $f'(x) = (-2x + 3) \times e^{-x^2 + 3x}$.

📌 Rédaction : toujours écrire la formule littérale avant de substituer — c'est un point systématiquement valorisé au bac.

Où c'est tombé : systématique dans les exos d'étude de fonction. Métropole 2021 à 2024, toutes sessions.

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M2 — Étudier le signe de $f'(x)$ pour en déduire les variations

Démarche systématique.

1. Calculer $f'(x)$ et factoriser si possible.
2. Étudier le signe de chaque facteur (signe d'un polynôme, d'une exponentielle, d'un logarithme...).
3. Dresser un tableau de signes.
4. En déduire les variations dans un tableau de variations.

Cas des exponentielles : rappeler que $e^{\text{quelque chose}} > 0$ pour tout $x$ — le signe de $f'$ ne dépend alors que du reste.

Cas des racines carrées au dénominateur : rappeler que $\sqrt{\text{quelque chose}} > 0$.

Exemple. $f(x) = (2x - 1)e^x$. Alors $f'(x) = 2\,e^x + (2x-1)e^x = (2x + 1)e^x$.

Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x + 1$ : positif ssi $x \geqslant -\dfrac{1}{2}$.

Donc $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$.

Où c'est tombé : dans tous les exos d'étude de fonction. Systématique.

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M3 — Dresser un tableau de variations complet

Structure canonique.

Ligne 1 : $x$ avec les bornes de définition et les valeurs remarquables.

Ligne 2 : signe de $f'(x)$ (avec les zéros).

Ligne 3 : variations de $f$ avec les valeurs aux bornes (limites ou valeurs finies) et aux extrema locaux.

Points-clés :

• Toujours calculer les limites aux bornes (chapitre Limites de fonctions).
• Toujours calculer les valeurs de $f$ aux extrema locaux (là où $f' = 0$).
• Utiliser des flèches ↗ et ↘ pour indiquer le sens.

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M4 — Étudier la convexité par le signe de $f''$

Démarche.

1. Calculer $f'(x)$.
2. Calculer $f''(x)$ (dériver $f'$).
3. Étudier le signe de $f''(x)$.
4. Conclure : $f$ convexe là où $f'' \geqslant 0$, concave là où $f'' \leqslant 0$.

Exemple. $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Alors $f'(x) = 3x^2 - 3$ et $f''(x) = 6x$.

$f''(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 0$ : $f$ convexe sur $[0\,;+\infty[$, concave sur $]-\infty\,;0]$.

Où c'est tombé : QCM et exercices d'étude de fonction — Métropole 2021, 2022, sept. 2023, juin 2024.

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M5 — Déterminer les points d'inflexion

Démarche.

1. Calculer $f''(x)$.
2. Résoudre $f''(x) = 0$.
3. Étudier le changement de signe de $f''$ autour de chaque solution.
4. En chaque valeur $x_0$ où $f''$ change de signe, calculer $f(x_0)$ pour donner le point d'inflexion complet $(x_0\,;f(x_0))$.

⚠ Le simple fait que $f''(x_0) = 0$ ne suffit pas — c'est le changement de signe qui caractérise l'inflexion.

Où c'est tombé : QCM très fréquent — Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M6 — Équation d'une tangente

Type d'énoncé : « Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 2$. »

Démarche.

1. Écrire la formule littérale : $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
2. Calculer $f(a)$ et $f'(a)$.
3. Substituer, puis simplifier.

Exemple. $f(x) = x^2 - 3x + 1$, $a = 2$. $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ et $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 1$.

$T_2 : y = 1 \times (x - 2) + (-1) = x - 3$.

Où c'est tombé : QCM très classique. Métropole 2021, 2023, Polynésie 2022, Antilles 2024.

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M7 — Position relative courbe / tangente (via convexité)

Type d'énoncé : « Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $a$. »

Deux approches :

• Par convexité (rapide) : si $f$ est convexe sur un intervalle contenant $a$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T_a$ sur cet intervalle. Si concave, en-dessous.
• Par étude du signe de $f(x) - T_a(x)$ : on calcule la différence, on étudie son signe.

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M8 — Démontrer une inégalité par convexité

Type d'énoncé bac (rare mais tombant) : « En utilisant la convexité de $f$, démontrer que pour tout $x > 0$, $\ln(1 + x) \leqslant x$. »

Démarche. La fonction $g : x \mapsto \ln(1 + x)$ est concave (car $g''(x) = -\dfrac{1}{(1+x)^2} < 0$). Sa courbe est donc en-dessous de sa tangente en $0$, qui est la droite $y = x$. D'où $\ln(1+x) \leqslant x$ pour tout $x > -1$.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, Amérique du Nord 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Dérivation apparaît dans 100 % des sujets — pas un seul bac spécialité sans calcul de dérivée.
• Étude de signe de $f'$ + tableau de variations : dans quasiment tous les exercices d'analyse (fonctions, suites définies par une fonction).
• Convexité en QCM : très fréquente (identification convexe/concave, lecture d'un point d'inflexion sur un graphique).
• Tangente en un point (M6) : QCM ultra-classique — présent dans presque toutes les sessions.
• Dérivée d'une composée (formule $(e^u)' = u'e^u$ ou $(\ln u)' = u'/u$) : systématique dans les exercices sur exponentielle ou logarithme.
• Point d'inflexion (M5) : ~1 sujet sur 2, souvent en QCM.
• Position courbe/tangente (M7) : régulièrement demandée après une étude de convexité.
• Démonstration d'inégalité par convexité (M8) : rare mais présente (Métropole 2022, 2024) — vaut souvent 3-4 points.

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5. Erreurs fréquentes

1. Erreur sur la formule du quotient : écrire $\dfrac{u'v + uv'}{v^2}$ (signe $+$ au lieu de $-$).
2. Oublier le facteur $u'$ dans la dérivée d'une composée : $(e^u)' \ne e^u$, c'est $u'\,e^u$.
3. Confondre $f'$ et $f''$ dans une étude de convexité.
4. Confondre convexe et concave : convexe = bol (souriant), concave = dôme (grimace).
5. Conclure à un point d'inflexion dès que $f''(x_0) = 0$, sans vérifier le changement de signe.
6. Étudier le signe de $f'$ sans factoriser : erreur de calcul quasi certaine sur les polynômes de degré 2 ou plus.
7. Oublier de préciser $e^u > 0$ dans l'étude du signe de $f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)}$.
8. Écrire $f'(a) = f(a)$ en donnant l'équation de la tangente : confusion entre valeur et coefficient directeur.
9. Utiliser $y = f'(a)\,x + f(a)$ au lieu de $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ : oubli de la translation.
10. Confondre monotonie et convexité : une fonction peut être croissante et concave (ex : $\sqrt{x}$).

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule / règle
Tangente en $a$	$y = f'(a)(x-a) + f(a)$
Signe $f'$ / variations	$f' \geqslant 0 \Leftrightarrow f$ croissante
Signe $f''$ / convexité	$f'' \geqslant 0 \Leftrightarrow f$ convexe
Composée $(g \circ u)'$	$u' \times g'(u)$
$(e^u)'$	$u'\,e^u$
$(\ln u)'$	$\dfrac{u'}{u}$ ($u > 0$)
$(u^n)'$	$n\,u'\,u^{n-1}$
Point d'inflexion	$f''$ change de signe (pas seulement $f'' = 0$)
Position courbe / tangente	$f$ convexe ⇒ courbe au-dessus des tangentes

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Convexité et point d'inflexion (M4, M5) en QCM :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2021 J1 ex. 4 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 2 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2021 J2 ex. 5 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3 · 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 4
• Centres Étrangers — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2

Tangente en un point (M6) — QCM :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2021 J1 ex. 4 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 2 · 2021 J2 ex. 3 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2021 J2 ex. 5 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Polynésie — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1
• Asie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2

Position courbe / tangente par convexité (M7) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 2 · 2022 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4

Démonstration d'inégalité par convexité (M8) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 2 · 2022 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 4