Exercice 4 — Logarithme népérien, Dérivation et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right),$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

  • b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

    Interpréter graphiquement ce résultat.

  • c) On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

    Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$,: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$.

  • d) Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 2. On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.

  • a) Déterminer une équation de la tangente $T_0$.

  • b) Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

  • c) En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a :

    $f(x) \geqslant - \dfrac12x + \ln (2).$

• 3. Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$.

  On a donc : $M_a\left(-a ;  f(-a)\right)$ et $N_a\left(a ;  f(a)\right)$.

  • a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$.

  • b) En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.