Exercice 4 — Fonction exponentielle, Limites de fonctions

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.*

• 1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x\text{e}^x$.

  Le nombre de solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = - \dfrac{73}{100}$ est égal à :

  • A. **a.  ** 0
  • B. **b.  ** 1
  • C. **c.  **2
  • D. **d.  **une infinité.

• 2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $g(x) = \dfrac{x+ 1}{\text{e}^x}.$

  La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :

  • A. **a.  ** $-\infty$
  • B. **b.  ** $+\infty$
  • C. **c.  ** 0
  • D. delle n'existe pas.

• 3. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

  $h(x) = (4x - 16)\text{e}^{2x}.$

  On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.

  On peut affirmer que:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. On considère la fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par :

  $k(x) = 3 \ln (x) - x.$

  On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.

  On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = \text{e}$.

  Une équation de $T$ est:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. On considère l'équation $[\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0$, avec $x \in ]0 ; +\infty[$.

  Le nombre de solutions de cette équation est égal à :

  • A. **a.  ** 0
  • B. **b.  ** 1
  • C. **c.  ** 2
  • D. **d.  ** une infinité.