LOGARITHME NÉPÉRIEN

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre introduit la fonction logarithme népérien, définie comme la fonction réciproque de l'exponentielle. Tout ce qu'on sait sur $\exp$ se traduit en propriété miroir sur $\ln$. C'est un chapitre à forte rentabilité au bac : équations exponentielles, seuils pour la loi binomiale, études de fonctions avec logarithme.

Prérequis indispensables :

• Fonction exponentielle (chapitre précédent)
• Dérivation et convexité (formule $(\ln u)' = u'/u$)
• Continuité et TVI
• Limites de fonctions

Chapitre débouchant sur : Primitives (primitives faisant intervenir $\ln$), Calcul intégral, tout exercice de bac binomiale demandant un seuil ($n$ minimum pour $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$).

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1. Notions clés

1.1 Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de l'exponentielle sur $]0\,;+\infty[$. Autrement dit :

$\ln : \; ]0\,;+\infty[ \; \longrightarrow \; \mathbb{R}$

est l'unique fonction telle que pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ :

$e^{\ln x} = x \qquad \text{et} \qquad \ln(e^y) = y$

1.2 Valeurs particulières

$\ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1$

1.3 Domaine

$\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ uniquement. Les nombres négatifs ou nul n'ont pas de logarithme.

⚠ Condition d'existence : dès qu'on écrit $\ln(u(x))$, il faut vérifier $u(x) > 0$.

1.4 Signe

• $\ln(x) < 0$ pour $x \in ]0\,;1[$
• $\ln(x) = 0$ pour $x = 1$
• $\ln(x) > 0$ pour $x \in ]1\,;+\infty[$

1.5 Sens de variation

$\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (car $(\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0$).

1.6 Limites aux bornes

$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

L'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}_{\ln}$ en $0$.

1.7 Convexité

$\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ (car $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$).

Sa courbe est donc en-dessous de toutes ses tangentes.

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2. Formulaire — propriétés et théorèmes

T1 — Propriétés algébriques (les 5 fondamentales)

Pour tous réels ${\color{#EE0000}{a}} > 0$, ${\color{#0070C0}{b}} > 0$, et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

$\ln({\color{#EE0000}{a}} \times {\color{#0070C0}{b}}) = \ln {\color{#EE0000}{a}} + \ln {\color{#0070C0}{b}}$

$\ln\!\left(\dfrac{1}{{\color{#EE0000}{a}}}\right) = -\ln {\color{#EE0000}{a}}$

$\ln\!\left(\dfrac{{\color{#EE0000}{a}}}{{\color{#0070C0}{b}}}\right) = \ln {\color{#EE0000}{a}} - \ln {\color{#0070C0}{b}}$

$\ln({\color{#EE0000}{a}}^{\,n}) = n \ln {\color{#EE0000}{a}}$

$\ln(\sqrt{{\color{#EE0000}{a}}}) = \dfrac{1}{2} \ln {\color{#EE0000}{a}}$

T2 — Réciprocité avec l'exponentielle

$e^{\ln x} = x \; (\text{si } x > 0) \qquad \ln(e^y) = y \; (\text{pour tout } y \in \mathbb{R})$

Ces deux formules permettent de « passer » d'une équation exponentielle à une équation logarithmique et réciproquement.

T3 — Dérivées

$\big(\ln x\big)' = \dfrac{1}{x} \; (\text{sur } ]0\,;+\infty[)$

$\big(\ln {\color{#0070C0}{u}}(x)\big)' = \dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'(x)}{{\color{#0070C0}{u}}(x)} \; (\text{là où } {\color{#0070C0}{u}}(x) > 0)$

T4 — Équations et inéquations

Équations (pour $A > 0$ et $B > 0$) : $\ln A = \ln B \; \Leftrightarrow \; A = B$

$\ln A = k \; \Leftrightarrow \; A = e^k$

Inéquations (car $\ln$ strictement croissante) : $\ln A < \ln B \; \Leftrightarrow \; A < B \qquad (A, B > 0)$

⚠ Piège classique. Quand on divise par $\ln q$ (par exemple pour résoudre $q^n \leqslant \varepsilon$), si $0 < q < 1$, alors $\ln q < 0$ et le sens de l'inégalité s'inverse.

T5 — Croissances comparées (à l'infini et en $0^+$)

En $+\infty$, le logarithme est écrasé par les polynômes :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0 \; (n \in \mathbb{N}^*)$

En $0^+$, par produit :

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \; (n \in \mathbb{N}^*)$

Limite en $1$ (nombre dérivé) :

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

T6 — Concavité et inégalité de référence

$\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$, donc sa courbe est en-dessous de ses tangentes. En particulier, en-dessous de la tangente en $1$ (qui est $y = x - 1$) :

$\text{pour tout } x > 0, \quad \ln x \leqslant x - 1$

Inégalité miroir de $e^x \geqslant x + 1$ — utile pour démontrer d'autres inégalités.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Résoudre une équation $\ln(f(x)) = k$ ou $\ln A = \ln B$

Démarche systématique.

1. Domaine : déterminer l'ensemble des $x$ pour lesquels $\ln(f(x))$ existe, c'est-à-dire $f(x) > 0$.
2. Transformer l'équation : $\ln A = k \Leftrightarrow A = e^k$, ou $\ln A = \ln B \Leftrightarrow A = B$.
3. Résoudre.
4. Vérifier que les solutions appartiennent au domaine — étape indispensable.

Exemple. Résoudre $\ln(x - 1) = 2$.

Domaine : $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

$\ln(x - 1) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = e^2 \Leftrightarrow x = 1 + e^2$.

Comme $1 + e^2 > 1$, la solution appartient au domaine : $S = \{1 + e^2\}$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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M2 — Résoudre une inéquation avec logarithme (avec précautions)

Exemple. Résoudre $q^n \leqslant 10^{-3}$ avec $q = 0{,}5$.

$q^n \leqslant 10^{-3}$ ⇔ $\ln(q^n) \leqslant \ln(10^{-3})$ (car $\ln$ croissante et les deux membres positifs)

⇔ $n \ln q \leqslant \ln 10^{-3}$

⇔ $n \geqslant \dfrac{\ln 10^{-3}}{\ln q}$ (car $\ln q = \ln 0{,}5 < 0$, le sens s'inverse)

⇔ $n \geqslant \dfrac{\ln 10^{-3}}{\ln 0{,}5} \approx 9{,}97$

Donc $n \geqslant 10$. Le plus petit entier est $n = 10$.

⚠ Toujours annoncer le signe de $\ln q$ avant de diviser.

Où c'est tombé : systématique dans les questions de seuil (loi binomiale, suite géométrique). Métropole 2021, 2022, 2023, 2024 ; Polynésie 2023 ; Amérique du Nord 2024.

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M3 — Étudier une fonction avec logarithme

Structure canonique.

1. Ensemble de définition : déterminer les $x$ tels que $u(x) > 0$ (si $f = \ln u$).
2. Limites aux bornes — attention aux limites en $0^+$ (asymptote verticale) et à l'infini (croissance comparée).
3. Dérivée : $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ (avec $u > 0$).
4. Signe de $f'$ : celui de $u'(x)$ (car $u(x) > 0$).
5. Tableau de variations.

Exemple. $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.

Définition : $x^2 + 1 > 0$ toujours, donc $D_f = \mathbb{R}$.

$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Le signe de $f'$ est celui de $2x$ : négatif pour $x < 0$, positif pour $x > 0$. Minimum en $0$ : $f(0) = \ln 1 = 0$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M4 — Utiliser la croissance comparée

Exemple. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x - x^2}{x}$.

F.I. On sépare : $\dfrac{\ln x}{x} - x$. Or $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ (croissance comparée) et $-x \to -\infty$. Donc $\lim = -\infty$.

Exemple 2. $\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0$ (croissance comparée, produit $x \times x\ln x$ avec le second facteur $\to 0$).

Où c'est tombé : QCM fréquent. Métropole 2021, 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M5 — Calculer une dérivée $(\ln u)'$

Rappel formule : $(\ln {\color{#0070C0}{u}})' = \dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{{\color{#0070C0}{u}}}$ (avec ${\color{#0070C0}{u}} > 0$).

Exemple. $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$. Alors ${\color{#0070C0}{u}}(x) = 3x^2 + 1$ (bien $> 0$ partout), ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 6x$.

$f'(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}$.

Erreur classique : oublier la condition ${\color{#0070C0}{u}} > 0$, ou écrire $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ (oubli du ${\color{#0070C0}{u}}'$).

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M6 — Démontrer une inégalité impliquant le logarithme (étude de fonction)

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $x > 0$, $\ln(1 + x) \leqslant x$. »

Deux approches :

• Par étude de fonction : poser $g(x) = x - \ln(1 + x)$, montrer $g'(x) \geqslant 0$, conclure $g(x) \geqslant g(0) = 0$.
• Par concavité (M8 de la fiche Dérivation et convexité) : la fonction $\ln$ est concave, donc en-dessous de ses tangentes. En particulier de la tangente en $1$ : $\ln x \leqslant x - 1$. En remplaçant $x$ par $1 + t$ : $\ln(1 + t) \leqslant t$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, 2024, Amérique du Nord 2024.

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M7 — Résoudre une équation exponentielle par passage au log

Type d'énoncé : « Résoudre $2^x = 5$. » (ou plus généralement $a^x = b$)

Démarche.

1. Prendre le $\ln$ des deux membres (les deux sont $> 0$).
2. $\ln(2^x) = \ln 5$ ⇔ $x \ln 2 = \ln 5$ ⇔ $x = \dfrac{\ln 5}{\ln 2}$.

Cas de la loi binomiale — question type « seuil » : « Combien de fois répéter pour $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$ ? »

$1 - (1-p)^n \geqslant 0{,}99$ ⇔ $(1-p)^n \leqslant 0{,}01$ ⇔ $n \ln(1-p) \leqslant \ln 0{,}01$ ⇔ $n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln(1-p)}$ (sens s'inverse car $\ln(1-p) < 0$).

Où c'est tombé : systématique dans les exercices binomiale avec seuil. Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Le logarithme apparaît dans environ 65 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent en 2 étapes :
  1. Question de seuil dans un exercice binomiale (déterminer $n$ minimum) — méthode M7 combinée à M2. Quasi systématique.
  2. Étude complète d'une fonction avec logarithme (méthode M3) — moins fréquent que l'exponentielle mais présent régulièrement.
• Question à part entière : résolution d'équation ou d'inéquation avec logarithme (M1, M2) — souvent en QCM.
• Croissance comparée $\dfrac{\ln x}{x}$ en QCM : régulier — Métropole 2021, 2022, 2023.
• Inégalité $\ln(1+x) \leqslant x$ (ou $\ln x \leqslant x - 1$) : utilisée dans certains sujets (Métropole 2022, 2024).
• Croissance comparée en $0^+$ ($x \ln x \to 0$) : dans les études de fonctions du type $f(x) = x \ln x$.

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5. Erreurs fréquentes

1. Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ : erreur majeure. La bonne formule est $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$.
2. Oublier de vérifier les conditions d'existence : dès qu'on écrit $\ln u$, il faut $u > 0$.
3. Écrire $\ln(-2)$ : le logarithme n'est pas défini sur les négatifs.
4. Diviser par $\ln q$ (avec $0 < q < 1$) sans inverser le sens de l'inégalité : erreur numéro un dans les seuils. $\ln q < 0$ donc l'inégalité s'inverse.
5. Oublier le facteur $u'$ dans la dérivée $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
6. Confondre $\ln(a^n)$ et $(\ln a)^n$ : $\ln(a^n) = n \ln a$ ; $(\ln a)^n$ est totalement différent.
7. Utiliser $\ln(u^2) = 2 \ln u$ sans vérifier $u > 0$ : la formule correcte pour $u \ne 0$ est $\ln(u^2) = 2 \ln|u|$.
8. Croissance comparée en $0^+$ : oublier que $x \ln x \to 0$ (et non $-\infty$).
9. Écrire $e^{\ln x} = x$ sans préciser $x > 0$ : hors du domaine, cette égalité n'a pas de sens.
10. Confondre $\ln$ et $\log_{10}$ : la calculatrice utilise log pour $\log_{10}$ et ln pour le logarithme népérien.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Domaine	$]0\,;+\infty[$
Réciprocité	$e^{\ln x} = x$ ($x > 0$), $\ln(e^y) = y$
Valeurs particulières	$\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$
Signe	$\ln x < 0$ sur $]0\,;1[$, $\ln x > 0$ sur $]1\,;+\infty[$
Variations	Strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$
Limites	$\lim_{0^+} \ln = -\infty$, $\lim_{+\infty} \ln = +\infty$
Produit	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
Quotient	$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
Puissance	$\ln(a^n) = n \ln a$
Racine	$\ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a$
Dérivée simple	$(\ln x)' = 1/x$
Dérivée composée	$(\ln u)' = u'/u$ ($u > 0$)
Croissance comparée	$\lim_{+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$, $\lim_{0^+} x \ln x = 0$
Inégalité clef	$\ln x \leqslant x - 1$ (partout où défini)
Concavité	$\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Question de seuil dans un exercice binomiale (méthode M7) — la plus fréquente :

• Métropole — 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Asie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2
• Centres Étrangers — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2

Étude complète de fonction avec logarithme (méthode M3) :

• Polynésie — 2023 J2 ex. 4

Équations et inéquations avec log en QCM (M1, M2) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J2 ex. 4

Croissance comparée $\dfrac{\ln x}{x}$ en QCM (M4) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2021 J2 ex. 5 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J2 ex. 4

Inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ ou $\ln(1+x) \leqslant x$ (M6) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 3