Exercice 2 — Dérivation, Dérivation et convexité

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. On admet  qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

• la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle ]0 ; 3] ;
• la droite $T_{\text{A}}$,tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A(1 ; 2) ;
• la droite $T_{\text{B}}$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B(e ; e).

On précise par ailleurs que la tangente $T_{\text{A}}$ passe par le point C(3 ; 0).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie A : Lectures graphiques

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

• 1. Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.
• 2. Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle ]0 ; 3] ?
• 3. Quel est le signe de $f''(0,2)$ ?

Partie B : étude de la fonction $f$

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par

$f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 ]$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

• 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2- 3X + 2 = 0$.

  En déduire que $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

• 2. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$.

  On admettra que la limite de $f$ en 0 est égale à 0.

• 3. On admet que pour tout $x$ appartenant à $]0 ;  +\infty[$, : $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.

  • a) Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ;  +\infty[$,: $f''(x)= \dfrac 1x(4\ln x + 1)$.

  • b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.

  • c) Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_{\text{B}}$ sur l'intervalle $]1 ;  +\infty[$.

Partie C : Calcul d'aire

• 1. Justifier que la tangente $T_{\text{B}}$ a pour équation réduite $y = 2x - \text{e}$.

• 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

  $\displaystyle\int_1^{\text{e}} x\ln x\, \text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}.$

• 3. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T_{\text{B}}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.

  On admet que $\displaystyle\int_1^{\text{e}} x(\ln x)^2\,\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 - 1}{4}$.

  En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.